Exercice

On considère un cube ABCDEFGH, d’arêtes de longueur 1. On note I le point d’intersection de
la droite (EC) et du plan (AFH).
1. On se place dans le repère (D;$\ \vec{DA},\vec{DC},\vec{DH}$). Dans ce repère, les sommets du cube ont pour coordonnées :
A(1; 0; 0) B(1; 1; 0) C(0; 1; 0) D(0; 0; 0) E(1; 0; 1)F(1; 1; 1) G(0; 1; 1) H(0; 0; 1)
a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (EC).
b. Déterminer une équation cartésienne du plan (AFH).
c. En déduire les coordonnées du point I, puis montrer que le point I est le projeté orthogonal
du point E sur le plan (AFH).
d. Vérifier que la distance du point E au plan (AFH) est égale à $\ \frac{\sqrt{3}}{3}$.
e. Démontrer que la droite (HI) est perpendiculaire à la droite (AF). Que représente le point I
pour le triangle AF H ?
2. Dans la suite de cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même
non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Définitions :
• un tétraèdre est dit de type 1 si ses faces ont même aire ;
• il est dit de type 2 si les arêtes opposées sont orthogonales deux à deux ;
• il est dit de type 3 s’il est à la fois de type 1 et de type 2.
Préciser de quel(s) type(s) est le tétraèdre EAFH.