Exercice

On considère un cube ABCDEF GH d’arête de longueur 1.
On se place dans le repère orthonormal (A;$\ \vec{AB}$;$\ \vec{AD}$;$\ \vec{AE}$).
On considère les points :

I(1,$\ \frac{1}{3}$,0) ; J(0,$\ \frac{2}{3}$,1); K($\ \frac{3}{4}$,0,1)et L(a, 1, 0)

avec a un nombre réel appartenant à l’intervalle [0; 1].

Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (IJ).
2. Démontrer que la droite (KL) a pour représentation paramétrique
$$\
\left\{
\begin{array}
xx =\frac{3}{4}+ t'(a-\frac{3}{4}) \\
y =t' \\
z =1-t'\end{array}
\right.
, t'\in \mathbb{R}
$$.
3. Démontrer que les droites(IJ) et(KL)sont sécantes si, et seulement si, a =$\ \frac{1}{4}$
Partie B
Dans la suite de l’exercice, on pose a =$\ \frac{1}{4}$
Le point L a pour coordonnées ($\ \frac{1}{4}$,1,0)
1. Démontrer que le quadrilatère IKJL est un parallélogramme.
2. La figure ci-dessous fait apparaître l’intersection du plan (IJK) avec les faces du cubeABCDEF GH
telle qu’elle a été obtenue à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique.
On désigne par M le point d’intersection du plan (IJK) et de la droite (BF) et par N le point
d’intersection du plan (IJK) et de la droite (DH).

Le but de cette question est de déterminer les coordonnées des points M et N.
a) Prouver que le vecteur $\ \vec{n}$ de composantes $\
\begin{pmatrix}
8 \\
9 \\
5
\end{pmatrix}
$ est un vecteur normal au plan (IJK).
b) En déduire que le plan (IJK) a pour équation 8x+ 9y + 5z −11 = 0.
c) En déduire les coordonnées des points M et N.

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